若函数f(x)=x^3-ax,若f(x)在实数集上单调递增,求实数a的取值范围

u < v,

f(u) = u^3 - au,

f(v) = v^3 - av,

f(x)在实数集上单调递增, 因此，总有，

0 > f(u) - f(v) = u^3 - au - [v^3 - av]

= u^3 - v^3 - au + av

= (u-v)(u^2 + uv + v^2) - a(u-v)

= (u-v)(u^2 + uv + v^2 - a),

而 u - v < 0,所以，总有，

u^2 + uv + v^2 - a > 0，

u^2 + uv + v^2/4 + 3v^2/4 - a > 0,

(u + v/2)^2 + 3v^2/4 - a > 0,

所以，当 a < 0时，上式总成立，满足题意。

若 a = 0, f(x) = x^3是实数集上的单调递增函数，满足题意。

若a>0.

令 u = 0, v = 0.5a^(1/2),

则，u < v,但
f(u) - f(v) = (u-v)(u^2 + uv + v^2 - a)

= （-v）(v^2 - a)

= -0.5a^(1/2)[0.25a - a]

= 0.375a^(3/2)

> 0,

与f(x)在实数集上单调递增矛盾，因此，
只有 a <= 0时，f(x)在实数集上单调递增.

a的取值范围a<0
设x>y,欲使f(x)>f(y),则必有
x^3-ax>y^3-ay,
x^3-y^3>ax-ay,
(x-y)(x^2+xy+y^2)>a(x-y)
由x-y>0得
x^2+xy+y^2>a